Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой горизонтальной круглой трубе с внутренним диаметром d = 2r0 (рис. 6.3). Выделим в ней отрезок длиной в между сечениями 1-1 и 2-2. Пусть в сечении 1-1 давление равно р1, а сечении 2-2 – р2. Так как труба горизонтальная, диаметр постоянный, следовательно U1=U2, ± = const, то уравнение Бернулли для этих двух сечений будет
p1 / Бg = p2 / Бg + hтр,
где hТр – потеря напора на трение по длине.
Отсюда hтр = p1 – p2 / Бg = pтр / Бg.
РИСУНОК
В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема, т.е. равенство нулю суммы действующих сил: силы давления и сопротивления.
(p1 – p2) А r 2 - 2 А r l Д = 0.
Отсюда Д = pтр r / 2 l (6.1)
Из этой формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 6.3 слева.
Выразим касательное напряжение Д по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости
Д= - ј dU/dy = - ј dU/d r
Подставляя значение Д в предыдущую формулу (6.1) получаем
pтр r/2 l =- ј dU/d r
Найдем отсюда приращение скорости
dU = - pтр rdr / 2јl
Проинтегрируем U= - pтр r 2 / 2јl2 (6.2)
Постоянную интегрирования найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т.е. при r = r0, U=0.
С = pтрr02 / 4 јl.
Подставляя значение С в формулу (6.2) получим выражение для определения скорости по радиусу трубы
U = pтр4 јl (r02-r2) (6.3)
предыдущаяследующая