Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкого тела (уравнения эйлера)

  • Часть 1
  • | 2

Пусть какой-либо жидкое тело массой М и плотностью Б находится в равновесии под действием внешних сил, проекции которых на соответствующие координатные оси x,y,z.

            Выделим у произвольной т. А бесконечно малый объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Мысленно отбросив окружающую выделенный объем жидкость, заменим ее действие силами. Это будут сжимающие силы, нормальные к каждой из плоских граней. Так, например, к граням параллельным плоскости yOz будут приложены силы dР1 и dР2, направленные навстречу друг другу, вдоль оси Ох (рис. 2.3).

Image

            Поскольку жидкое тело находится в равновесии, то условие равновесия всех действующих  в направлении оси Ох сил можно записать так :

dFx+dP1-dP2=0,     (2.1)

            где dFx- проекция на ось Ох элементарной массовой силы.

dFx=dМ*Х

            Но элементарную массу dМ можно выразить через произведение плоскости на объем :

dМ=Бdxdydz

            Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда :

dР1=р1dydz

dР2=р2dydz,

            где р1 и р2 – давление в точках 1и2.

            Считая давление в т. А в центре параллелепипеда равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длинны в направлении координатной оси Ох, может быть представлено частной производной рр/рх, будет иметь :

р1=р- рр/рх*1/2*dх,

р2=р+ рр/рх*1/2*dх.

            Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (2.1) будем иметь :

БХdxdydz+( р- рр/рх*1/2*dх) dydz-( р+ рр/рх*1/2*dх) dydz=0     (2.2)

            Поскольку dy`0 и dz`0, то разделим обе части уравнения (2.2) на dydz, т.е. отнесем к единице площади, и раскрыв скобки, получим :

предыдущаяследующая